Алгоритмический трейдинг

Алгоритмический трейдинг

Алгоритмическая торговля представляет собой современный, динамично развивающийся способ управления спекулятивным капиталом на рынке ценных бумаг.

Основное отличие алгоритмического подхода от "ручной", "интуитивной" торговли заключается в полной автоматизации совершения сделок, а значит, исключении человеческого фактора в принятии торговых решений.

Алгоритмическая торговля прочно обосновалась на всех мировых биржевых площадках, и сегодня уже ни у кого не возникает вопроса – применять ли алгоритмы в трейдинге или торговать по старинке, интуитивно.

Вопрос стоит иначе: какие алгоритмы торговать.

Применение простых и незатейливых алгоритмов, которые еще совсем недавно хорошо работали, сегодня не оправдывают себя.

Каждый алгоритм эксплуатирует какую-либо конкретную неэффективность рынка. Поиск таких неэффективностей и их формализация в алгоритм и составляет основное содержание алгоритмического подхода к торговле.  Такие неэффективности – весьма ограниченный ресурс, и их поиск напоминает поиск бриллианта в огромной массе пустой породы. Но если поиск увенчался успехом – это потом долгое время позволяет зарабатывать на хлеб алгоритмическому трейдеру. Главная беда с простыми алгоритмами – их простота,  а следовательно, доступность большому числу страждущих, и если вчера эту "булку хлеба" кушали единицы, то сегодня – тысячи, и поскольку рынки работают как система сообщающихся сосудов, в результате каждому достается уже по крошке. Так в конечном итоге заканчивает свою жизнь любой, даже самый успешный алгоритм – это только вопрос времени.

Для успешной торговли сегодня необходимы более сложные алгоритмы, имеющие под собой солидную математическую базу, – так обеспечивается "отход от толпы", и поскольку здесь конкуренция значительно ниже, то и время жизни алгоритмов значительно больше, и "кусок булки" толще.

Для тестирования и оптимизации торговых стратегий, построенных на таких алгоритмах, компания Церих, например, использует платформу WealthLab .NET, MS Visual Studio, а также технологию массивно-параллельных расчетов CUDA.

Использование технологии CUDA в финансах и трейдинге – это не дань моде, а требование времени. Дело в том, что использование этой технологии открывает пути решения очень многих ранее недоступных задач, и в конечном итоге определяет конкурентное преимущество.

Одна из допускающих эффективное распараллеливание задач алгоритмической торговли, – это расчет технических индикаторов на длинных рядах данных в реальном времени. Стратегии, исполняющиеся на малых таймфреймах (вплоть до тиковых) и использующие в своей логике текущие значения индикаторов, требуют ресурсоемких вычислений. Приемлемой скорости можно достичь с помощью CUDA. Например, распараллеливание на CUDA расчета такой популярной характеристики временных рядов, как среднеквадратическое отклонение, позволяет достичь увеличения скорости вычисления в ~100 раз. В отличие от среднеквадратического отклонения, вычисление параметра Хёрста временного ряда – более амбициозная задача. Этот параметр характеризует степень персистентности (трендовости) рынка, позволяя получить основания для переключения между трендоследящими и контртрендовыми стратегиями. Расчет параметра Хёрста также производится на графических ядрах параллельно.

Для того чтобы собрать доказательную базу прибыльности торговой стратегии, недостаточно исполнить ее на одном историческом ряде данных.

Корректное решение состоит в тестировании стратегии на множестве псевдорядов, порожденных подходящей (и оцененной по реальным данным) модели  (метод Монте-Карло). Церих  сделал ставку на модели класса ARFIMA, алгоритмы оценивания и генерации которой исполняются на графических CUDA-ядрах. Целесообразность использования CUDA в тестировании стратегий объясняется тем, что вполне ясное представление о распределении доходностей стратегии можно получить, исполняя стратегию на тысячах, а то и сотнях тысяч сгенерированных рядов.

По этой причине раньше выяснение характеристик распределения доходностей стратегии было недоступно: обработка огромных объемов данных, участвующих в вычислениях, была непосильной задачей даже для многоядерных центральных процессоров – это задача для суперкомпьютеров.  Появление технологии CUDA сделало эту задачу разрешимой – теперь трейдер, владеющий программированием графических процессоров и вполне бюджетным CUDA-девайсом, имеет возможность устроить своей стратегии хорошую (и суровую) проверку на результат, прежде чем пустить ее «в бой».

CUDA не только позволяет тестировать существующие стратегии, но и фактически вносит вклад в создание новых: задачи оптимизации параметров стратегий требуют не меньше вычислительных мощностей, чем тестирование стратегий.

Современные алгоритмы роботизированной торговли, как правило, зависят от нескольких параметров, каждый из которых может принимать значения из определенного диапазона. Допустимые множества для некоторых параметров могут включать тысячи элементов. Процедура оптимизации стратегии состоит в исполнении стратегии на множестве всех допустимых комбинаций параметров и выявлении наилучшего (с точки зрения доходности, риска и т. п.) сочетания параметров. Без оптимизации невозможно представить работу алгоритмического трейдера, однако если число параметров велико, а диапазоны допустимых значений параметров широки, то время оптимизации может исчисляться в днях, неделях и даже месяцах счета. И здесь на помощь приходит CUDA. Сегодня можно не просто оптимизировать параметры стратегий однократно, но и делать это динамически, в реальном времени, адаптируясь под изменяющееся поведение рынка.

Суммируя все вышесказанное, можно констатировать, что использование технологий массивно-параллельных расчетов CUDA в алгоритмической торговле открывает новую страницу в обработке рыночных данных. Появляется возможность эксплуатировать все более сложные алгоритмы, эффективность которых проверяется на тысячах псевдорядов котировок, поставляемых процедурами генерации, написанными на CUDA. Открывается доступ к реализации таких алгоритмов на высокочастотных рядах, а значит, к потенциальному увеличению доходностей стратегий, разработанных для таких рядов.

Уже сегодня алгоритмическую торговлю невозможно представить себе без ресурсоемких вычислений, требующих значительного времени исполнения.

Тенденция к обработке все больших массивов данных в трейдинге только нарастает, а значит, технология CUDA будет иметь все больше сторонников среди алгоритмических трейдеров, а процесс торговли – все больше зависеть от массивно-параллельных расчетов.

Contrarian opinion - III

первые результаты

Приступим к построению механической торговой системы при помощи Data Mining и оптимального управления.


1. Выбираем торговую идею

Первым делом возникает соблазн собрать всевозможные индикаторы теханализа, загрузить ими какой-нибудь модный турбо-нейро-фаззи-генетический алгоритм, и подождать с недельку, пока он не найдет для нас Holy Grail. К сожалению, почти наверняка это будет артефакт, а не реально существующая закономерность.

В одном хорошем месте, при приеме на работу на должность статистика, кандидатам перед интервью предлагался тест: в таблице данных из 1000 строк и 51-го столбца надо было найти закономерные связи, если они есть, между первым столбцом и остальными 50-ю столбцами. Кандидатам предоставлялся компьютер и статистические пакеты на выбор. Время теста не ограничивалось. Большинство находили закономерности, хотя все значения в таблице данных были получены при помощи генератора случайных чисел.

Собственно, поэтому мы с недоверием относимся к традиционной технологии построения МТС, основанной на оптимизации индикаторов на исторических данных. Люди тестируют всевозможные стохастики на истории, торгуют их в реале и теряют деньги. Потому что эти стохастики – не более чем числа. В основе торговой стратегии должна быть идея, основанная на фундаментальных, поведенческих или иных закономерностях. По нашему глубокому убеждению, МТС можно использовать, когда мы понимаем, почему и за счет кого на рынке она делает деньги. Самый лучший способ построить приносящую деньги МТС – взять за основу заведомо работающий классический метод и заведомо предиктивные данные, и, применяя к ним современные технологии Data Mining, найти скрытые от остальных паттерны и оптимальным образом их эксплуатировать.


2. По нашему убеждению, большую ценность имеют неценовые данные

Сюда же можно отнести интермаркет и парный трейдинг. В свое время произвела впечатление фраза известного в сети трейдера Марка Брауна (Mark Brown): «самая лучшая торговая система, которую я когда-либо видел, не использовала ценовых данных вообще». А из Энциклопедии торговых стратегий запомнилось то, что «поиск необычных данных открывает интересные возможности – зачастую, чем более необычны и труднодоступны данные, тем они ценнее», а также, что торговля по солнечным и лунным циклам при бэктестинге показала лучшие результаты, чем популярные методы теханализа. Это не означает, что теханализ бесполезен. Напротив, он очень полезен тем, что структурирует неоднородную толпу трейдеров по конфессиям верующих в те или иные его методы и постулаты. Например, что "МТС должна работать с ценами, а не обращать внимание на всякую около рыночную чушь... которую создают исключительно для обувания лохов...". Но это не та вера, по которой воздастся.


3. В качестве приложения сил рассмотрим фьючерсные рынки

Как обычно, следуем методу «contrarian opinion», то есть, зрим в корень. Основной экономический смысл фьючерсных рынков – перераспределить ценовые риски между участниками, имеющими дело с реальными товарами, и желающими застраховаться от нежелательных для них изменений цен при помощи противоположных фьючерсных позиций, и участниками, желающими получить прибыль от этих изменений цен. Первые – это, по терминологии CFTC, commercials, или хеджеры. Вторые – noncommercials, или крупные спекулянты. Хеджеры, согласно их роли на фьючерсных рынках, минимизируют ценовые риски, открывая позиции против тренда. Действительно, когда они ожидают повышения цен, они используют т.н. «короткий хедж», т.е. открывают шорты на фьючерсах. И наоборот, когда они ожидают понижения цен, они используют т.н. «длинный хедж», т.е. открывают лонги на фьючерсах. Обратной стороной сделок для них выступают спекулянты, выкупающие риски. Следовательно, спекулянты, по крайней мере, теоретически, открывают позиции в сторону тренда, со всеми вытекающими последствиями. Что мы и будем использовать в процессе подготовки данных.

CFTC еженедельно публикует отчет – Commitment of Traders Report (COT) – о текущем числе открытых длинных и коротких позиций (открытом интересе) для 3-х различных групп трейдеров: commercials, noncommercials и мелких спекулянтов. Важно, что эти группы трейдеров открывают и закрывают позиции по разным причинам. В частности, из того, что хеджеры, как правило, стоят против тренда, не следует, что они систематически «сливают» деньги в пользу спекулянтов: они не извлекают прибыль из изменений цен, а фиксируют устраивающие их цены на споте. Нам кажется естественным и разумным использовать данные СОТ вместе с ценами.


4. Мнения о предсказательной ценности СОТ неоднозначны

Гэри Смит (Gary Smith), ссылаясь на статью, на самостоятельные исследования, и на известные ему работы других трейдеров, пришел к заключению, что «СОТ потерял большую часть своей прогнозирующей силы».

С другой стороны, академическая статья Чангюн Ванга (Changyun Wang) утверждает, что «индекс сентимента инвесторов, основанный на действительных позициях трейдеров, полезен для предсказания приращений цен фьючерсов на индекс S&P500». В частности, он нашел, что сентимент крупных спекулянтов является индикатором продолжения движения, а сентимент хеджеров – слабым противоположным индикатором. В статье приводится статистически значимая стратегия:

– когда сентимент крупных спекулянтов экстремально бычий, а сентимент хеджеров экстремально медвежий, то время открывать лонги, и наоборот. Когда сентимент крупных спекулянтов экстремально медвежий, а сентимент хеджеров экстремально бычий, то время открывать шорты. Время удержания позиций – 1-8 недель.

Чтобы количественно оценить сентимент, в качестве индекса сентимента, SI, в момент времени t автор использовал нормализованные в диапазоне 1:100 нетто-позиции для соответствующих групп трейдеров:

SI(t) = (NetPosition(t) – min(NetPosition(1:t))) / …

(max(NetPosition(1:t)) - min(NetPosition(1:t)))*100.

Индекс сентимента меньше 25% считается экстремально медвежьим, а выше 75% – бычьим. В то же время автор не нашел предсказательной ценности прошлых приращений цен по отношению к будущим.

Недавно переведенная книга Ларри Уильямса (Larry Williams) целиком посвящена СОТ. Пролистав ее, мы не нашли там стратегии в явном виде. Но мы знаем, что на него долгое время работал Мюррей Руджеро (Murray Ruggiero), а в его книге 1997 года приведена такая стратегия. Можно предположить, что это и есть стратегия Ларри Вильямса. Идея ее заключается в том, что 1) Commercials торгуют против трендов. Будучи инсайдерами и из-за размера своих позиций, они начинают и завершают тренды. 2) Мелкие спекулянты, напротив, обычно покупают у вершин и продают на дне. Отсюда, собственно, стратегия:

"Если хеджеры открыли экстремально большие лонги, а мелкие спекулянты открыли экстремально большие шорты, то время покупать. И наоборот, если хеджеры открыли экстремально большие шорты, а мелкие спекулянты – лонги, то время продавать"

Здесь используется индекс сентимента, аналогичный SI, за исключением того, что нормализация производится не на всей предыдущей истории, а на скользящем окне длиной 1.5-4 года. Стратегия покупает около существенных минимумов, продает около существенных максимумов, имеет на T-Bonds 75% выигрышных сделок и профит-фактор = суммарная прибыль / суммарный убыток = 7.45. Утверждается, что СОТ является ценным индикатором для многих рынков – T-Bonds, S&P500, сельскохозяйственных рынков, таких как кукуруза или соевые бобы, и таких рынков, как золото и нефть.


5. Очень важно правильно синхронизировать данные с ценами

Еженедельные данные СОТ представляют собой значения открытого интереса при закрытии торгов во вторник, а публикуются они по пятницам, после закрытия торгов. Следовательно, обновленные данные мы можем использовать только в следующий понедельник с открытия торгов, и запаздывание по отношению к ценам составляет от 4-х до 9-ти торговых дней. Поэтому необходимо моделировать последовательное поступление данных СОТ в реальном времени с корректировкой их задним числом при получении новых значений. В частности, при использовании weekly разрешения необходимо на баре t использовать данные СОТ в момент t-1. То же самое справедливо для любых других данных, если время их публикации не совпадает с их отметкой времени. Подглядывание в будущее является одной из наиболее частых ошибок при создании «граалей».


6. Проверим эти стратегии

Возьмем, к примеру, кукурузу. Результаты, мягко говоря, не впечатляют:

Справедливости ради, не утверждалось, что «академическая» стратегия должна работать на других фьючерсах, помимо индекса S&P500. Можно, конечно, подобрать рынки и оптимизировать на истории уровни для экстремального сентимента и размер окна нормализации. Но, как вы понимаете, лучше что-то подправить в консерватории. Поэтому «мы пойдем другим путем».


7. Этапы большого пути

1) Мы решали непосредственно заявленную задачу: максимизировать ожидаемую прибыль при ограничениях на ожидаемую максимальную просадку. Обычно же декларируют одно, а решают совсем другое. Например, часто приходится слышать, что ПИФам очень сложно превзойти бенчмарк из-за ограничений на структуру активов. Но вместо того, чтобы непосредственно искать управление, максимизирующее матожидание разности (или отношения) эквити ПИФа и бенчмарка, при заданных ограничениях, люди накручивают какие-то коэффициенты Шарпа и прочие малозначимые в рамках поставленной задачи величины. Естественно, речь здесь идет о ликвидных активах. Хотя, может быть, и «рисование» неликвидами имеет смысл оптимизировать.

2) Наш препроцессинг основан не на формальных преобразованиях данных из учебников, а на знаниях предметной области и сформулированной на их основе торговой идее.

3) Мы использовали «правильный» для нашего круга задач метод Data Mining, созданный нашим партнером, неопубликованный, и значительно превосходящий разрекламированные публичные аналоги.

4) В свое время мы немало времени потратили на управление капиталом. Сейчас мы используем наиболее эффективный из возможных способов оптимального управления – с обратной связью и упреждением.


8. Оценим полученные результаты

Для корректного сравнения с традиционными МТС мы решили «игрушечную» задачу, ограничив область допустимых управлений множеством {-1, 0, 1}, что соответствует торговле одним контрактом без реинвестирования. Здесь «-1» соответствует позиции «шорт», «0» – «позиция отсутствует», и «1» – «лонг». Каждому недельному бару исторического ряда цен мы поставили в соответствие требуемую позицию. Случайным образом выбрали из ряда цен out-of-sample множество объемом в половину длины выборки. На оставшемся, обучающем, подмножестве мы нашли закономерности между текущими и прошлыми данными и нужной позицией. Точность распознавания правильных позиций на out-of-sample составила 80%.

Отметим, что на 7% баров никаких закономерностей обнаружить не удалось. Эти бары соответствуют так называемым джокерам. Примечательно, что в 22% случаев джокеры объединены в связные множества из 2-х и более последовательных баров, т.е. прогнозируемые области чередуются с непрогнозируемыми, на которых лучше не торговать. Наилучший прогноз при джокере – это предыдущее значение, или приращение = 0.

Если бы мы могли торговать справа налево, то мы бы ограничились траекторией эквити на тестовом множестве. Но, поскольку траектория цен в будущем заведомо будет другой, мы методом Монте-Карло на распределении приращений цен out-of-sample строим множество всевозможных эквити:

Среднегодовая прибыль в единицах начальной маржи варьируется от 5.81 до 9.68, с матожиданием 7.58. Матожидание максимальной просадки за весь 10-летний тестовый период составляет 2.2 начальных маржи. Это означает, что минимальный размер капитала должен быть больше $9500. В «привычных» терминах мы имеем:

средняя прибыль за один недельный бар – $152 (14% от начальной маржи);

прибыльных баров – 61%;

коэффициент Шарпа – от 2.05 до 3.7, с матожиданием 2.85 (при безрисковой доходности 6.38%).

Фактически, торгуя одним контрактом, мы использовали только результаты шагов 1)-3). Отметим, что аналогичные результаты получаются на всех товарах из разных групп, которые мы успели проанализировать.


9. Оптимальное управление фьючерсным портфелем обсудим в следующий раз

Для затравки, приведем пример управления размером позиции для одного актива – кукурузы. Задавая ограничения на ожидаемую максимальную просадку, мы можем построить оптимальную границу в плоскости доход-риск, аналогично тому, как это делается в классической теории портфеля. В частности, задав максимальную просадку в 30%, мы получаем следующую картинку для эквити, разумеется, out-of-sample:

Здесь начальный капитал $100000, на проскальзывание и комиссию вычитается $25 на контракт. Среднегодовая прибыль составляет 169.4%. При ограничении на просадку в 50% среднегодовая прибыль при тех же условиях составляет уже 402.7%.

Contrarian opinion  |  Contrarian opinion - II

Contrarian opinion - II

Итак, мы решаем задачу построения механической торговой системы (МТС) с экстраординарными, как ожидается, результатами, формулируя ее в виде задачи оптимального управления.


1. На чем основана наша уверенность в выдающихся результатах?

Во-первых, в более эффективном управлении капиталом. Как работают традиционные МТС? Открывается позиция, и мы пассивно ждем, закроется она с прибылью или убытком. В нашем случае мы действуем активно. Мы можем регулировать размер и направление позиции хоть на каждом баре, если ожидаемая прибыль больше ожидаемых издержек на комиссии и проскальзывание. Контролируя позицию на каждом баре, мы значительно уменьшаем рыночный риск. Легко показать, что риск позиции, удерживаемой в течение одного бара, меньше риска позиции, удерживаемой в течение N баров, в (N)^(-1/2) раз.

Во-вторых, легко показать, что частые небольшие прибыли гораздо эффективнее, чем редкие большие, за счет эффекта реинвестирования, и за счет фрактальности ценового ряда.

В третьих, мы не открываем и закрываем сразу большую позицию, а, как правило, совершаем относительно небольшие частые сделки. Тем самым проскальзывание значительно уменьшается.

В четвертых, мы не используем отдельные редкие закономерности, как это делают обычные МТС. Поэтому мы не подвержены эффекту «умирания» метода торговли из-за того, что многие трейдеры находят и начинают эксплуатировать эти единичные закономерности. Напротив, мы извлекаем возможную прибыль из всех ситуаций. Это эквивалентно одновременному использованию портфеля из сотен МТС для каждого торгуемого актива.

В пятых, мы существенно уменьшаем возможность подгонки моделей под исторические ряды цен. Поскольку мы не привязаны к отдельным сделкам и можем управлять капиталом на каждом шаге, мы можем в качестве тестового множества использовать случайные выборки, проводить анализ Монте-Карло, использовать эффективные способы тестирования моделей, например, leave-one-out cross validation.

В шестых, рассмотрим задачу с точки зрения управления портфелем инвестиций. Классическая теория оптимального портфеля Марковица предполагает единовременный выбор долей капитала, инвестированных в те или иные финансовые инструменты на основе их статистических свойств, оцененных по историческим данным. При этом решается задача оптимизации. Это неявно предполагает, что статистические свойства рынка неизменны во времени. В нашем случае «управление» предполагает постоянную реструктуризацию портфеля в соответствии с текущими и ожидаемыми рыночными условиями и текущим состоянием управляемого объекта – капитала.


2. Мы имеем задачу оптимального управления

dEquity(t) = leverage(t) * dPrice(t) – Slippage&Comission(t),

где

dEquity(t) = Equity(t+1) / Equity(t) – 1

dPrice(t) = Price(t+1) / Price(t) – 1

Equity(T) > max

плюс ограничения на управление leverage(t) и состояние Equity(t). Целевая функция может быть и другой.

Управление можно разделить на следующие три типа.

1) Программное управление строится по историческим данным и не учитывает текущего состояния системы. Примерами такого управления является решение задачи оптимизации портфеля по Марковицу.

2) Управление с обратной связью является функцией от текущего состояния системы. Данная задача является более общей, так как доли капитала могут меняться в соответствии с изменениями состояния.

3) Управление с обратной связью и упреждением является функцией от текущего состояния системы и его прогноза


3. Существует мнение, что цены, в принципе, не прогнозируемы

Смеем утверждать, что это не совсем так: временами изменения цен вполне прогнозируемы, а временами совсем не прогнозируемы. Перефразируя Эйнштейна, «Бог иногда играет в кости». Разумеется, под прогнозом мы понимаем статистический прогноз изменений цен в терминах матожидания. Если бы было возможно точно их прогнозировать, то оптимальное управление строилось бы очевидным образом: long с максимально возможным плечом в точках разворотов цен снизу вверх, и short с максимально возможным плечом в точках разворотов цен сверху вниз. Это соответствует так называемому «бэнг-бэнг» принципу управления, когда управляемый объект дискретно переключается между экстремально допустимыми значениями.


4. В линейном случае можно строить модель состояния независимо от управления. Процедура построения модели состояния по экспериментальным данным называется идентификацией. В нашем случае, если мы положим управление равным единице, то получим ситуацию buy’n’hold, т.е. модель состояния совпадет с моделью изменения цен. Эту задачу пытаются решить с той или иной степенью успешности уже более ста лет.


5. Классические методы решения задач управления капиталом и ценообразования можно условно разделить на следующие (пересекающиеся) классы.

1) Эконометрика, или прикладная статистика – корреляционный, регрессионный, факторный и прочий анализ. Ключевая фраза для поиска здесь – анализ временных рядов.

2) Классические методы теории управления, основанные на аналитических методах механики и физики. Интересующихся отсылаем к справочнику А.А. Красовского или к свежему учебнику Дорфа и Бишопа.

3) Использование стохастических дифференциальных уравнений. Интересующихся отсылаем к Пугачеву и Синицыну. Robert C. Merton, помимо своего вклада в ценообразование опционов (за который он совместно с Myron Scholes получил в 1997 году Нобелевскую премию по экономике), известен также решением «задачи Мертона о портфеле» в терминах оптимального управления. Среди других известных нам авторов, решающих задачу об оптимальном управлении портфелем при помощи стохастических дифференциальных уравнений, Sergei Maslov и В. И. Жижилев.

Кстати, вы задумывались, почему экономисты так любят моделировать приращения цен броуновским движением? Наш ответ: потому что это позволяет решить задачу об управлении портфелем в явном виде.

Ключевые термины для этого раздела: фильтр Калмана, уравнение Беллмана, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина. Последний метод оказался на редкость плодотворным: говорят, его развитию посвящено более двухсот докторских диссертаций, не считая решенных задач. Но на практике такими методами обычно удается решить лишь задачи с известными аналитическими функциональными зависимостями, либо упрощенные до практической бесполезности «игрушечные» задачи.

4) Наиболее продвинутым из известных нам методов оптимального управления является Model Predictive Control. Суть его в следующем:

а) рассматривается относительно простая модель управляемого объекта. При текущем состоянии в качестве начального, и известном программном управлении строится прогноз состояния на несколько шагов вперед;

б) выполняется оптимизация программного управления на горизонте прогноза с учетом всех ограничений на управление и состояние;

в) реализуется найденное оптимальное управление на один шаг вперед и измеряется состояние;

г) горизонт прогноза сдвигается на шаг вперед, и повторяются пункты а)-в).

Это позволяет управлять достаточно сложными объектами в режиме реального времени.

Оптимально управлять портфелем инвестиций при помощи Model Predictive Control пытается В.В. Домбровский с учениками.


6. Data Mining,

или получение знаний из эмпирических данных. В отличие от статистических методов, оперирующих выборочными моментами, методы Data Mining не делают предположений о виде распределений вероятностей и ищут закономерности в подмножествах выборочных данных. Методами Data Mining решают задачи кластеризации – группировке похожих в определенном смысле примеров данных, классификации определении принадлежности примеров к одному из заданных классов, и регрессии – обнаружении количественных зависимостей между признаками и прогнозируемой величиной.

Используя технологии Data mining, современные методы идентификации и управления вместо заданных аналитических зависимостей могут использовать обучение на эмпирических данных без математической формализации объектов управления.

Имея исторические данные, мы знаем, что нужно было делать в прошлом в той или иной ситуации. Мы можем поставить в соответствие каждой ситуации адекватную на нее реакцию – управление. Мы можем определенным способом обучить систему управления распознавать и нужным образом реагировать на эти ситуации. Для этого необходимо:

а) Определить и разметить на истории примеры ситуаций. Это могут быть, например, приращения цен на следующем шаге, или их знак. Можно вручную отметить нужные бары: в TradeStation легко сделать, чтобы при клике мышкой на данный бар на графике его координаты – дата, время и требуемое значение – писались в лог, а при использовании глобальных dll типа pulse – в файл.

б) Задать множество признаков для каждого примера.

в) Создать множество примеров ситуаций с соответствующими управлениями.

г) Обучить систему распознавать ситуации.

д) Обеспечить адаптацию системы управления к текущим изменениям рынков.

Эту процедуру можно реализовать при помощи большого числа методов.

1. Самым популярным методом машинного обучения являются нейронные сети. Это не случайно: нейронные сети естественным образом связаны с дискретными динамическими системами6, т.е. теоретически решают задачу идентификации. Доступным введением в тему является книга Neural Networks in Finance, охватывающая также тему генетических алгоритмов. Из русскоязычных книг нам понравилась Нейронные сети: распознавание, управление, принятие решений А.Б. Барского. Стиль изложения таков, что книгу можно читать вместо беллетристики на ночь.

2. Следующим большим классам методов, которым можно решить наши задачи, являются эволюционные методы, и в частности, генетические алгоритмы. Здесь нельзя не упомянуть нашего бывшего соотечественника академика А.Г. Ивахненко, который изобрел Метод Группового Учета Аргументов (МГУА). Им написано как минимум 15 книг и множество научных статей, его учениками защищено свыше двухсот диссертаций, а его метод реализован в известных программах NeuroShell и PolyAnalyst.

3. Стоит отметить нечеткую логику, которая хорошо сочетается с вышеупомянутыми методами. Хорошим, на наш взгляд, руководством является только что вышедшая книга С.Д.Штовбы Проектирование нечетких систем.

4. В последнее время на Западе вошел в моду метод еще одного нашего бывшего соотечественника В. Н. Вапника: метод опорных векторов, или Support Vector Machines. Представляют интерес и его ранние русскоязычные книги, дающие теоретическую основу для решения задач регрессии и классификации по ограниченному набору данных.

5. И, наконец, отметим алгебраические методы обнаружения логических закономерностей в данных вида «если …, то …». Главным в этой области считается академик Ю.И. Журавлев с учениками. Одним из наиболее популярных алгоритмов здесь являются деревья решений. Традиционные торговые стратегии, как правило, оперируют именно логическими правилами «если …, то …».


7. Принцип «зачем делать просто, когда можно сложно»

популярен в этой области как нигде. Приведем показательный пример. Однажды к одному ученому за отзывом на автореферат диссертации пришла аспирантка, представительница известной научной школы, уверенная, что она решила уникальную задачу классификации большой размерности. Как выяснилось, классов было два, а признаков всего восемь. Искалась разделяющая классы линейная граница. Идея была в том, что при поиске вектора весов граничной линии использовался довольно сложный функционал качества решения, назначением которого было бороться с многоэкстремальностью. Перед тем, как приступить к классификации, аспирантка провела отбор признаков самым простым эвристическим методом, оставив в итоге 4 или 5 признаков, потому что «так до нее делали другие» и «программа долго считает». Даже с оставшимися признаками программа считала целый день. Большим разочарованием для нее оказалось то, что аналогичные результаты можно было получить самыми простыми методами, типа деревьев решений, без всяких математических наворотов, и за считанные минуты.


8. Мы сознательно не делаем обзоров упомянутых методов

Нет смысла копировать параграфы из Википедии. Кому это будет нужно, тот найдет всю необходимую информацию в Сети. Так же сознательно мы не рецензируем тот или иной метод, его плюсы и минусы и т.п. и свои предпочтения. Каждый должен пройти свой путь. Мы могли бы вам все рассказать, но тогда вы ничему не научитесь. Обсудить результаты – пожалуйста. В следующий раз.

 Contrarian opinion  |  Contrarian opinion - III

Contrarian opinion

Применительно к построению механических торговых систем

1. Contrarian opinion

Известно, что метод «contrarian opinion», может быть весьма эффективен на финансовых рынках. Причины этой эффективности изучает новый раздел финансовой науки, называющийся «поведенческие финансы». За исследования в этой области Daniel Kahneman даже удостоился в 2002 году Нобелевской премии по экономике. В частности, он показал, что инвесторы в своей массе действуют нерационально. Что примечательно, Harry Markowitz ранее получил Нобелевскую премию за теорию оптимального портфеля, которая основывалась на постулате о рациональном поведении инвесторов. Интересующихся поведенческими финансами отсылаем к книге Поведенческие финансы или Между страхом и алчностью.


 2. Нерыночный пример

Опыт показывает, что метод «contrarian opinion» может быть очень эффективен и за пределами рынков.

Лет двадцать назад один студент-математик получил в качестве курсовой работы задание: применить метод функций Ляпунова к исследованию устойчивости какой-либо математической модели термоядерного реактора. Самым сложным оказалось найти подходящую модель. Для этого пришлось проштудировать подшивку журнала «Физика плазмы» за всю его историю. Остальное было делом техники: построить функцию Ляпунова и получить результат. Как выяснилось позднее, данная математическая модель была создана академиком, одним из создателей водородной бомбы и теории термоядерного синтеза, и вопрос о ее устойчивости был до того времени открыт. Все дело в том, что физики исследовали устойчивость традиционными спектральными методами, которые неприменимы для задач такого типа. В итоге данная работа по математике выиграла Всесоюзный конкурс студенческих научных работ в разделе «физика плазмы».


3. О том, как надо строить механические торговые системы

Это многократно обсуждалось на трейдерских форумах и описывалось в многочисленных книгах и т.п. Мы все учились понемногу на книгах Компьютерный анализ фьючерсных рынков , Разработка, тестирование, оптимизация торговых систем, и многих других. Чему-нибудь, и как-нибудь…

Собственно говоря, способ построения торговых систем был задан еще в 1987 году с появлением популярной торговой платформы TradeStation, ставшей де-факто стандартом индустрии, и в кругу российских трейдеров известной как «Омега». Это способ растиражирован программами-аналогами разной степени навороченности – от простой MetaStock, до очень продвинутой MultiCharts, и мало у кого вызывает сомнения.

Напомним этот общепринятый алгоритм создания механической торговой системы. Он заключается в следующем.

Прежде всего, временной ряд цен для выбранного торгуемого актива на выбранном таймфрейме загружается в торговую платформу и отображается в виде графика цен.

Далее, выбирается торговый метод и его формализация при помощи индикаторов теханализа. Что любопытно, при их выборе люди склонны руководствоваться принципом «зачем делать просто, когда можно сделать сложно». Например, широкую известность среди российских трейдеров получила торговая система, основанная на «индикаторе динамического ценового канала», опубликованном в одном из выпусков почившего в базе русскоязычного журнала «Современный трейдинг». Примечательно, что в том же выпуске журнала независимо был приведен тот же самый метод под названием «простейшая торговая система». Он содержал один параметр вместо трех у «динамического ценового канала» и программный код на EasyLanguage в три раза короче предыдущего. Но что может быть интересного в простейшей торговой системе!

Что касается методов, то в лучшем случае они базируются на торговых идеях из нескольких работающих методов теханализа. Или на контр-идеях. Например, эксплуатировать дисциплинированное закрытие убыточных позиций поклонниками торговли трендов. Но, похоже, большинство торговых систем есть просто результат скрещивания скользящих средних с осцилляторами и т.п.

Далее, параметры индикаторов оптимизируются на участке ряда данных in sample, как правило, простым перебором. Результаты оптимизации оцениваются по критериям Net Profit, Profit Factor и т.п., и выбираются наилучшие значения параметров. Считается, что график значений критерия оптимизации как функции от параметров у надежной торговой системы должен иметь некое подобие плато в области оптимальных значений параметров. Затем, система с оптимальными параметрами тестируется на участке ряда данных out of sample. Если результаты тестирования мало отличаются от результатов на участке in sample, то считается, что найдена некоторая устойчивая закономерность в ценах, которая гипотетически будет сохраняться в будущем. Механическая торговая система при этом представляет собой набор из нескольких логических правил с параметрами, описывающих эту закономерность. В точках на графике, где эти правила выполняются, система генерирует сигналы на совершение сделок – открытие или закрытие позиций.

Следует отметить, что результаты тестирования существенно зависят от выбора участков in sample и out of sample. Например, если на участке данных out of sample для метода, эксплуатирующего тренды, преобладает ненаправленное движение, то результаты тестирования на нем будут заведомо хуже, чем на участке оптимизации. Это может повлечь за собой то, что хорошая система будет отвергнута.

Если результат тестирования не удовлетворителен, то возвращаемся в начало алгоритма, меняются индикаторы и процедура исполняется заново.

Большинство останавливается на этом, ограничившись нахождением правил для открытия и закрытия позиций. Меньшинство идут дальше, решая задачу об оптимальном определении размера позиции, т.е. сколько купить или продать по каждому сигналу торговой системы.

И уже совсем мало кто доходит до решения отдельно стоящей задачи распределения капитала по активам и торговым системам.


4. Человек думает, компьютер пашет

Эффективность данного процесса можно многократно повысить, используя вместо случайного поиска методом проб и ошибок целенаправленный поиск, в частности, при помощи генетических алгоритмов. Для этого задаются критерий оптимизации любой сложности и с любыми ограничениями, или даже одновременно несколько независимых критериев, и пространство поиска, состоящее из

- допустимого набора входных данных – индикаторов и т.п., из которых можно гипотетически сгенерировать торговую систему;
- допустимого набора значений параметров;
- допустимого набора элементарных логических правил, способов комбинации индикаторов и т.п.

В данном случае задача сводится к тому, чтобы выбрать разумные альтернативы для возможных торговых систем и хороший критерий оптимизации.

Несмотря на эффективность такого применения генетических алгоритмов, ничего принципиально нового в идеологию построения торговых систем это не приносит.


5. И снова метод «contrarian opinion»

Теперь посмотрим на задачу построения механической торговой системы с точки зрения вышеупомянутого студента. В нашем случае это означает выйти за рамки метастоков, профит-факторов и всего вышеупомянутого, чтобы увидеть целостную картину ситуации и отсечь лишние сущности. Мы знаем конечную цель. Мы хотим получить экспоненциальный, без значительных просадок, рост капитала. Все остальное несущественно.

Каким образом мы можем воздействовать на капитал, чтобы достичь этой цели? Единственно, покупкой или продажей тех или иных активов, что мы, в принципе, можем делать на каждом шаге. Регулировать изменение капитала мы можем, изменяя в любой момент времени leverage – «плечо». Положительное «плечо» означает нетто-лонг позицию, отрицательное – нетто-шорт, нулевое – деньги.

Приращение капитала на каждом шаге по времени описывается уравнением

dEquity(t) = leverage(t) * dPrice(t) – Slippage&Comission(t),

где

dEquity(t) = Equity(t+1) / Equity(t) – 1

dPrice(t) = Price(t+1) / Price(t) – 1.

Здесь leverage и dPrice в общем случае векторы, «*» означает скалярное произведение векторов, Slippage&Comission означает проскальзывание и комиссию.

Ограничением на управление является максимальное плечо. Ограничения на состояние – это недопустимость маржин-колла, максимально допустимый дроудаун, и т.п. В качестве целевой функции можно, в частности, выбрать т.н. терминальную функцию

Equity(T) > max,

т.е. максимизировать прирост капитала за отчетный период. В итоге мы получаем обыкновенную задачу оптимального управления, где управляемый объект, или состояние – это капитал, а управление – изменение «плеча».

Понятия «входы», «выходы», «стоп-лоссы», «тейк-профиты» и т.п. как таковые в данном контексте попросту отсутствуют. Здесь нет прибыльных или убыточных сделок, как нет и самих сделок. Есть только положительный либо отрицательный прирост капитала. Тем самым, мы упрощаем задачу, убирая все лишние переменные.

Как известно, правильная постановка задачи – половина ее решения. Остается решить вторую половину – собственно, саму задачу. С чего начать?

Во-первых, у нас нет модели изменения цен dPrice. Во-вторых, даже если у нас есть адекватная модель изменения цен dPrice, найти оптимальное управление – сама по себе нетривиальная задача, имеющая эффективные алгоритмы решения только в некоторых частных случаях.

Но, в-третьих, стоит заметить, что раздельное решение задачи идентификации и задачи оптимального управления теоретически обосновано только для линейных систем с квадратичной целевой функцией. То есть идентификацию и управление можно искать одновременно.

Иными словами, решив задачу оптимального управления, мы за один шаг проскочим все необходимые этапы построения механической торговой системы, а именно, получим торговую модель, оптимальное управление капиталом и оптимальный портфель. При этом, как в случае с нашим студентом, результаты обещают быть качественно отличными от тех, которые могут быть получены общепринятыми методами.

Что самое интересное, и при решении этой сложной задачи метод «contrarian opinion» тоже может быть очень полезен.


Contrarian – противоположный инвестор (инвестор, действующий вопреки тенденциям рынка; это выражается в таких действиях, как покупка акций, падавших в цене в последнее время, или продажа акций, цена которых возрастала) – Lingvo FinancialMarkets

 Contrarian opinion - II  |  Contrarian opinion - III

Эффективность Финансового Рынка

Эффективность Финансового Рынка

Концепция эффективности финансового рынка - одна из центральных идей функционирования финансового рынка. Мы рассмотрим следующий круг вопросов: соотношение инвестиционной стоимости и рыночного курса; гипотеза эффективного рынка; слабая, средняя и сильная формы эффективности рынка; неоклассические теории; примеры из практики - механические стратегии торговли, индексные фонды.

В статье "Математика в Теории Финансов" мы дали обзор эволюции роли математических методов в экономике. Как мы отмечали, настоящий бум в Теории Финансов произошел с развитием вероятностных методов, возникших вместе с предположением неопределенности цены, спроса, предложения. В первой половине 20 века, начиная с диссертации Л.Башелье, появилась серия работ, в которых проводился эмпирический анализ различных финансовых характеристик с целью получения ответа на вопрос о предсказуемости движения цен. С этого времени достаточно активно обсуждается гипотеза о том, что логарифмы цен ведут себя как случайное блуждание (их приращения - независимые случайные величины). Гипотеза случайного блуждания была не сразу принята экономистами, но впоследствии именно она привела к концепции эффективного рынка (EMH - efficient market hypothesis).

Одной из целей инвестиционного анализа является оценка справедливой стоимости ценных бумаг, так называемой инвестиционной стоимости.

Инвестиционная стоимость ценной бумаги (investment value) - текущая стоимость ожидаемых доходов в будущем, оценка которой дана хорошо информированными и высококвалифицированными аналитиками.

Рассмотрим идеализированный рынок, обладающий следующими свойствами:

- все инвесторы имеют бесплатный доступ к информации, в которой отражена абсолютно вся существующая информация касающаяся данной ценной бумаги;
- все инвесторы являются хорошими аналитиками;
- все инвесторы внимательно следят за рыночными курсами и мгновенно реагируют на их изменения;

не сложно предположить, что на таком рынке курс ценной бумаги будет хорошей оценкой её инвестиционной стоимости, именно это свойство является критерием эффективности финансового рынка.

Эффективный рынок (абсолютно эффективный рынок) - это такой рынок, на котором цена каждой ценной бумаги всегда совпадает с её инвестиционной стоимостью.

На таком идеализированном рынке каждая ценная бумага всегда продается по справедливой стоимости, все попытки найти ценные бумаги с неверными ценами оказываются тщетными, информационное множество является полным, новая информация мгновенно отражается в рыночных ценах, все действия участников рынка являются рациональными и все участники рынка едины в своих целевых установках.

Принято выделять три степени эффективности рынка, в соответствии со степенью информационной эффективности рынка.

Говорят, что рынок является эффективным в отношении какой-либо информации, если данная информация сразу и полностью отражается в цене, т.е. невозможно построить инвестиционную стратегию, использующую исключительно эту информацию, которая позволяла бы на постоянной основе получать сверхприбыль (прибыль отличную от нормальной). В зависимости от объема информации, которая сразу и полностью отражается в цене, принято выделять три формы эффективности рынка.

Всю информацию разделим на три группы:

- прошлая информация - прошлое состояние рынка (динамика курсов, объемы торгов, спрос, предложение);
- публичная информация - информация, опубликованная в доступных источниках (прошлое состояние рынка, отчеты компаний, объявление о выплате дивидендов, макроэкономическая статистика, экономические и политические новости);
- вся информация - включает как публичную, так и внутреннюю информацию, которая известна лишь узкому кругу лиц (например, в силу служебного положения).

Выделяют три формы эффективности рынка:

- слабая форма эффективности (weak-form efficiency) - в стоимости ценных бумаг полностью отражена прошлая информация;

- средняя форма эффективности (semistrong efficiency) - в стоимости ценных бумаг полностью отражена публичная информация;

- сильная форма эффективности (strong efficiency) - в стоимости ценных бумаг отражена вся информация.

Данное определение степени эффективности рынка не полностью формализовано и отчасти носит интуитивный характер - в частности, не указано ни значение нормальной прибыли, ни целевые установки участников рынка (например, их отношение к риску). Тем не менее, если принять некоторую модель формирования цен (например, ставшую уже классической модель CAPM), данные определения легко формализуются, что позволяет проверять гипотезу эффективности рынка совместно с выбранной моделью формирования цен. Все эти понятия - эффективность рынка, сверхприбыль, нормальная прибыль, риск - мы еще проиллюстрируем, когда будем рассматривать модель CAPM.

Какая из форм эффективности больше подходит современным развитым финансовым рынкам?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте посмотрим на современный финансовый рынок. На нем работают три вида аналитиков:

fundamentalists ("фундаменталисты") - проводят фундаментальный анализ - исходят в своих решениях из "глобального" состояния экономики, состояния тех или иных секторов, перспектив конкретных компаний, причем в своих оценках они исходят из рациональности действий участников рынка;

technicians ("техники") - проводят технический анализ - руководствуются в своих решениях "локальным" поведением рынка, для них особенно важно "поведение толпы" как фактора, существенно влияющего на их решение, учитывая, в том числе, и психологические моменты; большинство методов, которыми они пользуются, носят эвристический характер (т.е. слабоформализованны, не вполне обоснованны с математической точки зрения);

quants ("количественные аналитики") являются последователями Л.Башелье - проводят эмпирические исследования - выявляют закономерности на основе исторических данных, строят модели, формируют соответствующие стратегии.

Технический анализ основан, прежде всего, на анализе прошлых состояний рынка, поэтому при слабой форме эффективности рынка не имеет смысла тратить на него время и средства (информация о прошлых состояниях рынка уже учтена в цене). Фундаментальный анализ, как и эмпирические исследования, основан на публичной информации, поэтому при средней форме эффективности рынка бесполезно прибегать к фундаментальному анализу. Однако, как несложно заметить, все вышеописанные аналитики неплохо существуют и весьма востребованы в современном мире. Поэтому, строго говоря, современный финансовый рынок не может соответствовать всем требованиям ни одной степени эффективности финансового рынка.

С другой стороны, на современном финансовом рынке существенное несоответствие между курсом ценной бумаги и ее инвестиционной стоимостью - явление редкое. Дело в том, что существенная переоценка или недооценка ценной бумаги на рынке будет замечена внимательными аналитиками, которые попытаются извлечь из этого выгоду. В результате, ценные бумаги, курс которых ниже инвестиционной стоимости, будут покупаться, вызывая рост курса из-за увеличения спроса на них. А ценные бумаги, курс которых выше инвестиционной стоимости, будут продаваться, вызывая падение курса из-за увеличения предложений. Казалось бы, что еще остается возможность получить выгоду из небольшого или временного несоответствия, но в этом направлении возникнет препятствие в виде транзакционных издержек (например, из-за спреда, ликвидности), которые явно или неявно входят в издержки при любых операциях на бирже. В результате финансовый рынок является некоторой динамической системой, которая постоянно стремится к эффективности.

Благодаря этой самоорганизации финансовых рынков, современные развитые фондовые рынки можно отнести к классу слабо эффективных, хотя некоторые аномалии на нем всё же присутствуют.

Подчеркнем еще раз, что концепция эффективного рынка продолжает играть доминирующую роль в современной Теории Финансов. Тем не менее, данная концепция подвергается пересмотру. Прежде всего, это относится к предположению однородности всех инвесторов с точки зрения своих целевых установок и рациональности их решений. В частности, в концепции эффективного рынка не учтено, что инвесторы на финансовом рынке обладают разными инвестиционными горизонтами ("долгосрочные" и "краткосрочные" инвесторы), которые реагируют только на информацию относящуюся к их инвестиционному горизонту (так называемая, "фрактальность" интересов участников). Присутствие на рынке этих двух категорий инвесторов необходимо для стабильности рынка. На основе этого круга идей возникла концепция фрактальности (дробности) рынка, основы которой были заложены в работах Г. Харста (1951) и Б. Мандельброта (1965). Эта теория позволяет объяснить, в том числе, явления коллапса фондовых рынков, когда происходит не просто движение цен вниз, а возникает обвал рынка, при котором цены ближайших сделок разделяет пропасть. Как, например, было во время дефолта в России в 1998 году.

Вышеприведенные теоретические рассуждения имеют и чисто практическую реализацию. В качестве примеров рассмотрим применение механических стратегий торговли и индексные фонды.

Как мы отмечали, современный фондовый рынок, строго говоря, не является эффективным, поэтому новая информация постепенно отражается в цене актива. В результате формируется ценовой тренд. Его можно использовать для получения прибыли, при условии своевременного обнаружения движения цены актива. Подобными методами пользуются некоторые механические системы торговли ценными бумагами. Для полноты картины, отметим, что существует и другая разновидность механических стратегий торговли, которая действует по противоположному принципу - покупка актива начинается не тогда, когда он начинает расти, а когда его цена падает ниже некоторого уровня; и, соответственно, продают, когда его цена поднимается выше определенного значения.

Гипотеза эффективного рынка дала толчок к появлению первых индексных фондов, портфель которых воспроизводил некоторый фондовый индекс, т.е. содержал набор акций входящих в выбранный индекс. Одним из первых фондов был "The Vanguard Index Trust-500 Portfolio" (1976г.), созданный на основе индекса Standard&Poor's-500 (США), в котором представлены акции 500 компаний (400 индустриальных, 20 транспортных, 40 потребительских и 40 финансовых). Подобный подход реализует идею пассивного управления хорошо диверсифицированным портфелем ценных бумаг. При таком подходе не требуется наличия высококвалифицированных аналитиков, кроме того, минимизируются транзакционные издержки, которые непременно возникают в случае активного управления портфелем. Несмотря на то, что пассивные методы управления портфелем не являются пределом мастерства портфельных менеджеров, тем не менее, индексные фонды показывают неплохие результаты. Если мы обратимся к статистике доходности российских ПИФов за 2006 год, то оказывается, что не так много фондов показали результат лучше, чем доходность индексных фондов. Более того, если мы рассмотрим результаты за 2005 и 2006 год, то лишь единицы на протяжении 2х лет показывали результат лучше, чем доходность индексных фондов, а существенно лучших результатов не показал никто. Это объясняется тем, что многие фонды используют рискованные стратегии, что позволяет получать лучший результат, в случае, когда им везет. Но стабильно показывать результат существенно лучше, чем доходность индексных фондов, ни одному ПИФу пока не удается, именно в силу относительной эффективности фондового рынка.

Математика в Теории Финансов

Математика в Теории Финансов

Математика на начальной стадии развития Теории Финансов использовалась на уровне вспомогательного инструмента - на уровне арифметики при вычислении простых/сложных процентов (где всё знание математики сводится к умению вычислять суммы арифметической и геометрической прогрессий), структурирования и графического представления данных. Но со временем объем информации начал расти лавинообразно, а вместе с ним - стоимость ошибок и упущенных возможностей.

Во второй половине 19 века интерес к математическим методам возник в задачах управления - при рассмотрении вопросов принятия оптимальных решений. Что привело к развитию такого раздела математики как Исследование Операций. С экономической точки зрения Исследование Операций - это научный подход (количественные методы) принятия решения при имеющихся ограничениях. Например, менеджеру данная теория поможет определить свою политику и действия среди многообразия возможных путей достижения поставленных целей (содержательной задачей при этом, естественно, останется корректная формализация проблемы и возможных путей её решения). С математической же точки зрения Исследование Операций - это обычная задача оптимизации (т.е. сводится к задаче максимизации функции нескольких переменных при наличии ограничений). Такие математические теории как линейное программирование, теория игр, имитационное моделирование не только стали неотъемлемой частью экономической теории, но и очень плотно используются на практике в современном мире.

Достаточно любопытно одно из первых проявлений данного подхода - введение в Великобритании в 1840г. почтовой оплаты в 1 пении, существенно упростившей процедуру обработки корреспонденции. Данное решение явилось результатом анализа операций в почтовом ведомстве, предпринятого Ч. Бэббиджем, который нашел, что большая часть стоимости письма приходится на его обработку при сортировке, а вовсе не на дальность путешествия от отправителя к получателю, как считалось ранее.

С этого времени Математика в Экономике переросла из разряда вспомогательного инструмента в метод решения.

Дальше - больше. Настоящий бум в Теории Финансов произошел с развитием вероятностных методов, возникших вместе с предположением неопределенности цены, спроса, предложения.

В первой половине 20 века, начиная с диссертации 1900 года Л.Башелье, появилось несколько работ, в которых проводился эмпирический анализ (эмпирические исследования) различных финансовых характеристик с целью получения ответа на вопрос о предсказуемости движения цен, спроса, предложения и т.п. Удивительно, но к этим работам экономисты того времени не проявляли должного внимания. В 1953 году была опубликована знаковая работа М.Кендалла (M.Kendall). Анализируя реальные статистические данные цены пшеницы на Чикагском рынке и хлопка на Нью-Йоркской товарной бирже, он обнаружил, что логарифмы цен ведут себя как случайное блуждание (их приращения - независимые случайные величины). Этот же подход был развит в работе, будущего лауреата Нобелевской премии, П.Самуэльсона (P.Samuelson), который в качестве модели цен предложил использовать геометрическое броуновское движение (т.е. логарифмы цен ведут себя как броуновское движение со "сдвигом"). Гипотеза случайного блуждания цен была не сразу принята экономистами, но в последствии именно она привела к концепции эффективного рынка.

С этого момента и до настоящего времени математические модели вышли на первый план. Т.к. именно модель определяет суть рассматриваемого объекта, всё остальное уже следствие из неё.

В 1952 году вышла работа Г.Марковитца (H.Markovitz), которая была посвящена проблеме оптимизации инвестиционных решений в условиях неопределенности. Именно она заложила основы теории портфеля ценных бумаг. В ней была изложена концепция диверсификации, позволяющая за счет правильного подбора ценных бумаг уменьшить риск портфеля (несистематический риск). Работа Г.Марковитца оказала сильное влияние на все последующие работы в этой области. В 1964 году В.Шарп (W.Sharpe) предложил модель CAPM (Capital Asset Pricing Model), а в 1976 году С.Росс (S.Ross) представил теорию APT (Arbitrage Pricing Theory). Обе эти теории, ставшие в последствии классическими, составляют ядро современной Теории Финансов. Неудивительно, что в 1990 году Г.Марковитц, М.Миллер и В.Шарп были удостоены Нобелевской премии "За основополагающий вклад в разработку проблем финансовых рынков, способствующих оптимальному распределению ресурсов среди различных сфер производства".

В 1970х годах в мировой экономике происходили радикальные изменения. Это привело, в частности, к активному развитию срочного рынка. А в 1973 году вышли две работы, которые имели беспрецедентный резонанс. Это были статьи Ф.Блэка (F.Black) - М.Шоулса (M.Scholes) и Р.Мертона (R.Merton). Эти статьи совершили революцию в методологии финансовых расчетов. Впоследствии Р.Мертон и М.Шоулс, внесшие основополагающий вклад в создание математической теории оценки опционов, стали лауреатами Нобелевской премии.

Р.Мертон и М.Шоулс вошли в историю не только как создатели теории оценки опционов, но и как практики…

В 1994 году был создан хедж-фонд Long-Term Capital Management (LTCM), основателем которого стал известный инвестиционный банкир Д.Мэриуэзер, а его партнерами были Р.Мертон и М.Шоулс. Р.Мертон и М.Шоулс разработали достаточно сложную стратегию инвестирования активов LTCM. Результаты не заставили себя долго ждать - деньги в фонд лились рекой (это и не удивительно - все классические математические методы Теории Финансов, прежде всего, ценны именно прикладным значением). Очень быстро LTCM превратился в один из ведущих хедж-фондов. А в середине 1998 года в России… Дефолт… В это время LTCM вел масштабные операции с ГКО-ОФЗ и форвардными контрактами "рубль - доллар", в результате фонд потерял более $4 млрд. В октябре 1998 года LTCM оказался на грани краха… Так западная теория в очередной раз столкнулась с российской действительностью )))